Математичні моделі та методи виявлення фінансових аномалій через спектральні властивості операторів Лапласа-Бельтрамі на графових структурах

Abstract

У кваліфікаційній роботі розглянуто задачу виявлення фінансових аномалій у складних фінансових системах на основі спектрального аналізу графових моделей. Показано, що традиційні методи аналізу фінансових часових рядів не завжди здатні виявляти приховані структурні зміни та передкризові стани ринку, оскільки не враховують глобальну мережеву структуру взаємозв’язків між фінансовими активами. Фінансова система у роботі моделюється у вигляді динамічного зваженого графа, вершинами якого є фінансові активи, а ребрами – кореляційні залежності між їх дохідностями у ковзних часових вікнах. Для аналізу структури таких мереж використано нормований оператор Лапласа–Бельтрамі як дискретний аналог відповідного диференціального оператора спектральної геометрії. Основними результатами роботи є розроблення математичної моделі кореляційного графа фінансових активів, алгоритмічної процедури побудови оператора Лапласа-Бельтрамі та комплексу спектральних індикаторів для виявлення фінансових аномалій. До таких індикаторів належать друге власне значення лапласіана (алгебраїчна зв’язність), спектральна щілина, спектральна ентропія та відстань між спектральними підпросторами у послідовних часових вікнах. Запропоновано комбінований підхід до діагностики аномальних режимів, що дозволяє зменшити кількість хибних спрацювань та підвищити чутливість до структурних змін ринку. Наукова новизна роботи полягає у застосуванні спектральних властивостей оператора Лапласа–Бельтрамі для аналізу фінансових аномалій у межах графових моделей, а також у запропонованій інтерпретації змін спектра лапласіана як індикаторів системного фінансового ризику.