Застосування операторів інтерлінації для побудови наближених розв’язків крайових задач для еліптичних рівнянь

Abstract

У роботі розглянуто постановку нелінійної еліптичної задачі у сильній та слабкій формах і обґрунтовано підхід до її чисельного розв’язання на основі методу прямих (false transient), що зводить стаціонарну задачу до ітераційного процесу інтегрування за штучним часом до збіжного режиму. Запропоновано використання операторів інтерлінації між паралельними смугами як інструмен та відновлення розв’язку в проміжних точках, формування згущених представлень поля та покращення постпроцесінгу (ізолінії, профілі, наближені градієн ти/потоки). Узагальнено принципи побудови інтерлінаційних операторів у двовимірному випадку та сформульовано висновок про те, що за узгодженого вибору параметрів сітки й відстаней між смугами інтерлінація не погіршує порядок збіжності базової дискретизації. 5 Розроблено програмний комплекс мовою Python з модульною структурою (чисельне ядро solver, модуль interlineation, графічний інтерфейс GUI на PyQt5), який забезпечує розв’язання тестових задач для рівнянь Лапласа та Пуассона, а також семілінійної еліптичної задачі з логістичною реакцією. Проведено обчислювальні експерименти на послідовності сіток і для різних параметрів нелінійності; оцінено збіжність, рівні похибок, кількість ітерацій та вплив налаштувань інтерлінації на форму й гладкість відновленого поля. Отримані результати підтверджують працездатність реалізованих схем і доцільність застосування інтерлінації як етапу постобробки та візуалізації.