Методи машинного навчання у чисельному дослідженні нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Abstract

Кваліфікаційна робота присвячена використанню нейронних мереж для чисельного дослідження та розв’язку нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь. Нейронні мережі використовуються для апроксимації невідомої функції в методі колокацій. Параметри нейронної мережі підбираються шляхом мініміза ції функції втрат, що агрегує похибку основного рівняння та граничних умов в обраних точках колокації. Запропоновано стратегію адаптивного вибору точок колокації для покращення точності та ефективності розв’язку. Програмне рішення поставляється у вигляді Python-пакету neural-pde-solver, що включає в себе всі необхідні функції та класи. Для його реалізації використовується фреймворк машинного навчання PyTorch. Проведено низку обчислювальних експериментів для крайових задач для одно- та двовимірних нелінійних рівнянь Пуассона, а також для початково крайових задач для нелінійного рівняння теплопровідності, рівняння Бюргерса та рівнянь Нав’є-Стокса.