Публікація: Методи двобічних наближень розв'язання деяких класів нелінійних задач математичної фізики
Завантаження...
Дата
2019
Автори
Назва журналу
ISSN журналу
Назва тома
Видавництво
ХНУРЕ
Анотація
Дисертаційну роботу присвячено розробці двобічних ітераційних методів розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння і системи напівлінійних еліптичних рівнянь та розробці на основі сумісного застосування методів Роте і двобічних наближень напівдискретного методу розв’язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння. Побудова методів двобічних наближень заснована на переході від вихідної задачі до еквівалентного інтегрального рівняння. Це інтегральне рівняння розглядається у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій, і є основою означення узагальненого розв’язку задачі. На основі подання інтегрального рівняння як рівняння з гетеротонним оператором будується дві ітераційні послідовності, які стартують з кінців сильного інваріантного для гетеротонного оператора відрізка і двобічно збігаються до єдиного додатного розв’язку розглядуваної задачі. Для побудови еквівалентних інтегральних рівнянь у роботі використовується функція Гріна або квазіфункція Гріна-Рвачова. Роботу запропонованих у дисертації двобічних ітераційних методів проілюстровано обчислювальними експериментами для тестових задач.
When studying the methods of mathematical modeling of processes occurring in nonlinear media, it becomes necessary to solve boundary and initial boundary value problems for nonlinear equations of mathematical physics. Such tasks are usually not amenable to direct analytical research, and therefore for their analysis one should use numerical methods. Among the variety of existing numerical methods, iterative methods should be distinguished with a two-sided nature of convergence. These methods allow to construct two sequences of functions which approximate the desired solution from below and above. Consequently, when implementing two-sided iterative schemes, we will have convenient a posteriori error estimate and criterion for the iterations ending. In addition, these methods often allow us to conclude that there is a solution to the problem. The purpose of the research investigations, conducted in the dissertation, was to develop the two-sided iterative methods for solving the first boundary value problem for a semilinear elliptic equation and a system of semilinear elliptic equations and to develop a combined Rothe method and two-sided approximations for solving the first initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation. The theoretical basis of the developed two-sided iterative methods are methods of the theory of nonlinear operator equations in semiordered spaces, in particular, the results of V.I. Opoǐcev on the solvability of nonlinear equations with a heterotone operator. The construction of two-sided approximation methods for solving the first boundary value problem for a semilinear elliptic equation and a system of semilinear elliptic equations is based on the transition from the initial problem to an equivalent integral equation. This integral equation is considered in the continuous functions space semi-ordered by a cone of non-negative functions, and is taken as the basis for the definition of a generalized solution of the boundary value problem. Based on the representation of an integral equation as an equation with a heterotone operator, two iteration sequences, which start from the ends of the strongly invariant for the heterotone operator segment and converge bilaterally to the unique positive solution to the problem, are constructed. To construct equivalent integral equations two approaches are used. The first one is based on the use of the Green’s function to replace the boundary value problem by theHammerstein integral equation. The limitation in implementation of this approach is associated with the necessity of existing an analytical expression for the Green's function. The second approach uses the concept of the Green-Rvachev’s quasi-function, introduced in the thesis, for reducing the boundary value problem to the Uryson integral equation. In contrast to the usual Green's function, the construction of the Green-Rvachev’s quasifunction is possible if the fundamental solution of the elliptic operator of the boundary value problem is known and the geometry of the area in which the problem is considered allows its analytical description by means of the constructive apparatus of the R -functions theory. It greatly expands the range of applications of the developed method of two-sided approximations based on the use of the Green-Rvachev’s quasi-function. In addition, a function that analytically describes the geometry of a domain in which a boundary value problem is considered can be used to construct the ends of a strongly invariant cone segment. For each of the developed two-sided approximation methods, a number of conditions for the convergence of the iteration sequences and the existence of positive solutions to the problems under consideration are given. The application of the two-sided approximation methods based on the use of the Green’s function and the Green-Rvachev’s quasiunction is considered on the example of the Dirichlet problems for equations with the Laplace operator and the Helmholtz operator and power nonlinearities. To solve the first boundary value problem for a semilinear parabolic equation, the joint use of Rothe’s methods and two-sided approximations is proposed: on the basis of discretization with respect to the time variable, the original problem is replaced by a sequence of the first boundary value problems for semilinear elliptic equations, which are solved by two-sided iterations. The paper also considers the application of the developed two-sided approximation methods to the solution of the first boundary value problem for the heat equation with a temperature-dependent coefficient and to the solution of higher order equations using the example of the nonlinear Navier problem. The work of all the two-sided iterative methods proposed in the thesis is illustrated by computational experiments for test problems.
Опис
Ключові слова
метод двобічних наближень, перша крайова задача для напів- лінійного еліптичного рівняння, перша крайова задача для системи напівлініних еліптичних рівнянь, перша початково-крайова задача для напівлінійного параболічного рівняння, рівняння з гетеротонним оператором, сильно інваріантний конусний відрізок, функція Гріна, квазіфункція Гріна-Рвачова, метод R -функцій, метод Роте, рівняння теплопровідності з нелінійним коефіцієнтом, нелінійна задача Нав’є, method of two-sided approximations, the first boundary value problem for a semilinear elliptic equation, the first boundary value problem for a system of semilinear elliptic equations, the first initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation, equation with a heterotone operator, strongly invariant cone segment, Green’s function, Green-Rvachev’s quasi-function, R -functions method, Rothe method, equation of heat conductivity with nonlinear coefficient, nonlinear Navier problem
Бібліографічний опис
Сидоров М. В. Методи двобічних наближень розв'язання деяких класів нелінійних задач математичної фізики : автореф. дис. ... д-ра фіз.-мат. наук : 01.05.02 "Математичне моделювання та обчислювальні методи" / М. В. Сидоров ; М-во освіти і науки України, Харків. нац. ун-т радіоелектроніки. – Харків, 2019. – 46 с.