Математичне моделювання нестаціонарного переносу тепла в неоднорідному середовищі з використанням інтерлінації функцій - Залужна, Г. В. (My University, 2015)
Дисертація присвячена розробці та дослідженню ефективних обчислювальних схем інтерлінаційного методу скінченних елементів (ІМСЕ) розв’язання крайових задач теплопровідності для плоских областей складної форми. ІМСЕ є скінченно-елементною реалізацією методу розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними, запропонованого в роботі Сергієнка І.В., Литвина О.М. Наближений розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторовими змінними представляється у вигляді формул сплайн-інтерполяції (за просторовими змінними), побудованих на основі формул сплайн-інтерлінації функцій трьох змінних за двома просторовими змінними. Невідомі вузлові параметри інтерполяції, які є функціями від часу t, знаходяться шляхом розв’язання задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Кількість рівнянь системи на порядок менша, ніж кількість рівнянь аналогічної системи ЗДР у класичній схемі МСЕ, при цьому забезпечується одна й та ж за порядком точність. В дисертаційній роботі досліджено питання найбільш ефективної нумерації вузлів елементів розбиття, яка дозволяє отримати матриці системи ЗДР, що мають блочно-трьохдіагональний вигляд. Запропоновано метод побудови точних розв’язків тестових задач. Відповідні теоретичні твердження роботи обґрунтовані за допомогою теорем і підтверджені результатами обчислювальних експериментів, проведених з використанням пакету прикладних програм, створеного дисертантом. Обчислювальний експеримент продемонстрував та підтвердив високу точність запропонованого ІМСЕ і правильність теоретичних тверджень роботи. The dissertation is devoted to research and development of effective computing schemes of interlinative finite element method (ІFЕM) for solving of boundary value problems of heat conduction for flat areas of complex shape. ІFЕM is finite cell realization of method of solving boundary value problems for differential equations in partial derivatives proposed by Serhiyenko I.V., Litvin O.M. Approximate solution of non-stationary heat conduction problem with two space variables is sought in the form of spline interpolation formulas (by spatial variables), based on splineinterlination formulas of function of three variables in two spatial variables. To find the unknown nodal interpolation parameters which are functions of time t , obtained the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations. Quantity of equations in the system to order less than the quantity of equations of similar ODE system in the classical scheme of the FEM, wherein accuracy of the same order ensures. In the dissertation the problem of the most effective numbering for element partition nodes is investigated, which provides a matrix of ODE system with block-three-diagonal look. The method of construction of exact solutions for test problems is offered. Corresponding theoretical statements of paper are grounded by means of theorems and confirmed by results of the computing experiments spent with use of a package of applied programs, created by the author of dissertation. Computing experiment demonstrated and confirmed the high accuracy of the proposed method ІFЕM and correctness of theoretical statements.
Keywords: крайові задачі; метод скінченних елементів; інтерлінація функцій; метод зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (метод ЛІДР); boundary value problems; finite elements method; nterlineations of the functions; method of reduction to a system of the linear integro-differential equations (method LIDE)